martes, 27 de octubre de 2015

sentido de las funciones trigonométricas

Sentido de las funciones trigonométricas[editar]

Trigono c00.svg
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
A \equiv O
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo  \alpha \,  sobre el eje de lasx, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa porB, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
\frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia  \overline{OE}  y  \overline{OB}  son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
\sin \alpha = \overline{CB} \,
\cos \alpha = \overline{OC} \,
\tan \alpha = \overline{ED} \,
tenemos:
\frac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1}
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante[editar]

Trigono 000.svg
Trigono 001.svg
Trigono 002.svg
Trigono 003.svg
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo  \alpha \,.
Para  \alpha = 0 \, , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
\sin 0 = 0 \,
\cos 0 = 1 \,
\tan 0 = 0 \,
Si aumentamos progresivamente el valor de  \alpha \, , las distancias  \overline{CB}  y  \overline{ED} aumentarán progresivamente, mientras que  \overline{OC}  disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.
Los segmentos:  \overline{OC}  y  \overline{CB}  están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero  \overline{ED}  no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo  \alpha = 0,5 \pi \,  rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia  \overline{ED}  será infinita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

\sin \frac{\pi}{2} = 1 \,

\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,
\tan \frac{\pi}{2} = \pm\infty \to \mathrm{No \; definida}
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