trigonometria: 2015

Sentido de las funciones trigonométricas[editar]

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

A \equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo

\alpha \,

sobre el eje de lasx, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa porB, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

\frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia

\overline{OE}

\overline{OB}

son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

\sin \alpha = \overline{CB} \,

\cos \alpha = \overline{OC} \,

\tan \alpha = \overline{ED} \,

tenemos:

\frac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1}

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante[editar]

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo

\alpha \,

Para

\alpha = 0 \,

, tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

\sin 0 = 0 \,

\cos 0 = 1 \,

\tan 0 = 0 \,

Si aumentamos progresivamente el valor de

\alpha \,

, las distancias

\overline{CB}

\overline{ED}

aumentarán progresivamente, mientras que

\overline{OC}

disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos:

\overline{OC}

\overline{CB}

están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero

\overline{ED}

no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo

\alpha = 0,5 \pi \,

rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia

\overline{ED}

será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

\sin \frac{\pi}{2} = 1 \,

\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,

\tan \frac{\pi}{2} = \pm\infty \to \mathrm{No \; definida}

Funciones trigonométricas inversas recíprocas[editar]

Del mismo modo que las funciones trigonométricas directas recíprocas, cuando el ángulo se expresa en radianes, se denomina arco a ese ángulo, y se emplea el prefijo arco para la función trigonométrica recíproca, así tenemos que:

y= \csc \, x \,

y es igual a la cosecante de x, la función recíproca:

x = \arccsc \; y \,

x es el arco cuya cosecante vale y, o también x es la arcocosecante de y.

si:

y= \sec x \,

y es igual al secante de x, la función recíproca:

x = \arcsec y \,

x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es el arcosecante de y.

si:

y= \cot x \,

y es igual al cotangente de x, la función recíproca:

x = \arccot y \,

x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual al arcocotangente de y.

Representación gráfica[editar]

Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas en el plano cartesiano (x,y), como la recíproca de la cosecante, secante y cotangente, los valores en el eje y expresados en radianes.

Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el criterio para obtener las funciones recíprocas, dado que las funciones trigonométricas inversas no son inyectivas, lo obtenido es la gráfica de la derecha, que no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la definición de función.

Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas, corregidas.

Para que se cumpla la definición de función, definimos un dominio y un codominio restrijido. Así tenemos que:

La función arcocosecante se define:

\begin{array}{rccl} \arccsc : & (-\infty , -1] \cup [1 , \infty) & \to & [-0,5 \pi \; , \; 0,5 \pi] \\ & x & \to & y = \arccsc(x) \end{array}

La función arcosecante se define:

\begin{array}{rccl} \arcsec : & (-\infty , -1] \cup [1 , \infty) & \to & [0 \; , \; \pi] \\ & x & \to & y = \arcsec(x) \end{array}

La función arcocotangente se define:

\begin{array}{rccl} \arccot : & R & \to & [0 \; , \; \pi] \\ & x & \to & y = \arccot(x) \end{array}

Esta restricción garantiza el cumplimiento de la definición de función.

Equivalencia entre las funciones trigonométricas[editar]

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente	Secante	Cosecante
$\sin\theta\,$	$\sin\theta\,$	$\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}{\sec\theta}$	$\frac{1}{\csc\theta}$
$\cos\theta\,$	$\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$	$\cos\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{\cot\theta}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sec\theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}{\csc\theta}$
$\tan\theta\,$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}{\cos\theta}$	$\tan\theta\,$	$\frac{1}{\cot\theta}$	$\sqrt{sec^{2}\theta-1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\cot\theta\,$	$\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}{\sin\theta}$	$\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\tan\theta}$	$\cot\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	$\sqrt{\csc^{2}\theta-1}$
$\sec\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\cos\theta\,}$	$\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$	$\frac{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}{\cot\theta}$	${\sec\theta}\,$	$\frac{\csc\theta}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\csc\theta\,$	$\frac{1}{\sin\theta\,}$	$\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}{\tan\theta}$	$\sqrt{1+\cot^{2}\theta}$	$\frac{\sec\theta}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	${\csc\theta}\,$